ロール重複の制御と確率モデル
Control and Probability Model of Roll Duplicates
角色重複的控制與機率模型
本項では、「同じ乱数シードを共有する 2 種類のガチャ $X$, $Y$」を対象に、2 ロール分の結果から
重複を回避できる確率、
意図的に重複（ペア）を発動できる確率、 およびそれらを統合した
トラック操作確率 を確率モデルとして定式化する。
In this section, we formulate a probability model targeting "two types of gachas, $X$ and $Y$,
sharing the same random seed." Based on the results of two rolls, we define the
Avoidance Probability,
Activation Probability (intentionally triggering a duplicate pair), and the
integrated
Track Controllability.
本節針對「共享相同亂數種子的兩種轉蛋 $X$ 與 $Y$」，根據兩次抽選（Roll）的結果，將
重複迴避機率、
重複觸發機率（刻意製造重複配對）以及整合後的
軌道操作機率 進行機率模型的公式化。
次のような基本構造を考える：
Consider the following basic structure:
考慮以下基本結構：
- ガチャは$X, Y$の 2 種類。
- There are two types of gachas, $X$ and $Y$.
- 轉蛋共有 $X, Y$ 兩種。
- 各ガチャは重複処理の対象となる「レア/Rare」(「レア1」と呼ぶ)と、それ以外のレアリティ（まとめて「レア2」扱い）を持つ。
- Each gacha has a "Rare" category (referred to as "Rare 1") subject to duplicate
processing, and other rarities (collectively treated as "Rare 2").
- 每種轉蛋都有屬於重複處理對象的「稀有/Rare」（稱為「稀有 1」），以及其他稀有度（統稱為「稀有 2」）。
- 1回のロールでは、まずレアリティを乱数$a$で決定し、次に、選ばれたレアリティのアイテムリストから乱数$b$でアイテムが選ばれる。
- In a single roll, the rarity is first determined by random number $a$, and then
an item is selected from the chosen rarity's item list using random number $b$.
- 在單次抽選中，首先由亂數 $a$ 決定稀有度，接著再由亂數 $b$ 從該稀有度的道具清單中選出角色。
- $X, Y$は同一ロール内で同じ乱数ペア$(a, b)$を共有する（したがって同一ロール内では従属）。
- $X$ and $Y$ share the same random number pair $(a, b)$ within the same roll
(making them dependent within that roll).
- $X$ 與 $Y$ 在同一次抽選中共享相同的亂數對 $(a, b)$（因此在同一次抽選中兩者是相依的）。
- 2回のロール$r=1,2$では、それぞれ独立な乱数ペア$(a_r, b_r)$を用いる。
- Independent random number pairs $(a_r, b_r)$ are used for two separate rolls
$r=1, 2$.
- 在兩次抽選 $r=1, 2$ 中，分別使用互相獨立的亂數對 $(a_r, b_r)$。
また、プレイヤーは 2 ロール分の結果$$(X_1, X_2),\quad (Y_1, Y_2)$$を参照し、 $$X\to X,\quad X\to Y,\quad Y\to X,\quad
Y\to Y$$ のいずれかのロール順（実際に画面に提示する 2 連分のロール）を戦略的に選択できるとする。
Furthermore, the player can reference the outcomes of the two rolls $$(X_1, X_2),\quad (Y_1, Y_2)$$
and strategically choose one of the following roll sequences: $$X\to X,\quad X\to Y,\quad Y\to
X,\quad Y\to Y$$ (the actual sequence of two rolls performed
in the game).
此外，假設玩家參考兩次抽選的結果 $$(X_1, X_2),\quad (Y_1, Y_2)$$，並能戰略性地選擇 $$X\to X,\quad X\to Y,\quad Y\to X,\quad
Y\to Y$$ 其中一種抽選順序（實際上在畫面中呈現的連續兩次抽選）。
ここでの目標は、次の 3 つの量を数学的に定義し、定式化することである：
The goal here is to mathematically define and formulate the following three quantities:
這裡的目標是將以下三個量進行數學定義與公式化：
-
回避確率：
「$X,Y$のどちらかで重複が起こったとき、 ロール順を工夫することで重複を回避できる確率」
Avoidance Probability:
"The probability that when a duplicate occurs in either $X$ or $Y$, it can be avoided by strategically choosing the roll
sequence."
迴避機率：
「當 $X, Y$ 其中之一發生重複時，透過調整抽選順序來迴避重複的機率。」
-
発動確率：
「$X,Y$のどちらかで重複が起こっていないとき、 ロール順を工夫することで重複を作ることができる確率」
Activation Probability:
"The probability that when a duplicate has
not occurred in either $X$ or $Y$, it can be
triggered by strategically choosing the roll
sequence."
觸發機率：
「當 $X, Y$ 皆未發生重複時，透過調整抽選順序來製造出重複的機率。」
及びこれらを統合したトラック操作可能性として、選択の自由度を表す指標を考える。
Additionally, we consider an index representing the degree of freedom in choice, defined as the
integrated "Track Controllability."
以及將上述兩者整合為「軌道操作可能性」，作為衡量選擇自由度的指標。
近似①：乱数モデルと連続近似の正当性
Approximation I: Validity of the Random Number Model and Continuous Approximation
近似 ①：亂數模型與連續近似的正當性
実際のゲーム内では、乱数生成器としてxorshift32が採用されている。 これは決定論的なアルゴリズムであり、厳密には$a$と $b$は独立ではない。 しかし、xorshift32
は出力ビットの混ざりが非常に良く、低位ビットも均等に分布し、大域周期が長いという性質を持つ。 そのため、実装上の $b$ は「ほぼ完全な一様乱数」であり、統計的には $a$ と $b$
は独立とみなしても問題はない。 そこで、本モデルでは計算を簡略化するため、$a, b$ は独立であると仮定する。
In the actual game, xorshift32 is employed as the Pseudo-Random Number Generator (PRNG). As a
deterministic algorithm, $a$ and $b$ are not strictly independent. However, xorshift32 features
excellent bit-mixing, uniform distribution of lower bits, and
a long period. Consequently, $b$ in practice behaves as a "near-perfect uniform random number," and
statistically, assuming independence between $a$ and $b$ is acceptable. Therefore, this model
assumes $a$ and $b$ are independent to
simplify calculations.
在實際遊戲中，採用了 xorshift32 作為隨機數產生器。這是一種決定性演算法，嚴格來說 $a$ 與 $b$ 並非獨立。但由於 xorshift32
的輸出位元混合極佳、低位元分布均勻且具有長週期特性，因此實作上的 $b$ 屬於「幾乎完全均勻的隨機數」，在統計上將 $a$ 與 $b$ 視為獨立並無大礙。為了簡化計算，本模型假設 $a, b$
相互獨立。
また、キャラクター抽選は通常 $b \mod n$ で行われるが、 本項ではこれを連続一様乱数 $U_b \sim \mathrm{Unif}[0,1)$ を用いた区間分割モデルとして再解釈する。
$b$ の取りうる値の範囲（$0\leq b < 2^{32}$）は $n$ に対して十分に大きいため、 $$b \mod n=k \iff U_b \in
\left[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right)$$ という対応関係がほぼ完全に成立する。
この連続近似モデルを採用することで、リストの順序が異なるガチャ同士の重複判定を、区間の重なりとして厳密かつ統一的に計算することが可能になる。
Furthermore, character selection is typically performed via $b \mod n$. In this section, we
re-interpret this using a continuous interval model with a uniform random number $U_b \sim
\mathrm{Unif}[0,1)$. Since the range of $b$ ($0\leq b < 2^{32}$)
is sufficiently large relative to $n$, the mapping $$b \mod n=k \iff U_b \in
\left[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right)$$ holds almost perfectly. By adopting this continuous
approximation model, duplicate checks between gachas with different
list orders can be calculated rigorously and uniformly as interval overlaps.
此外，角色抽選通常透過 $b \mod n$ 進行，但在本節中，我們將其重新詮釋為使用連續均勻隨機數 $U_b \sim \mathrm{Unif}[0,1)$ 的區間分割模型。由於 $b$
的取值範圍（$0\leq b < 2^{32}$）相對於 $n$ 非常大，因此對應關係 $$b \mod n=k \iff U_b \in
\left[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right)$$ 幾乎完全成立。透過採用此連續近似模型，能將清單順序不同的轉蛋間之重複判定，轉化為區間重疊進行嚴密且統一的計算。
近似②：重複リロールにおける追加乱数とトラック移動の限界
Approximation II: Additional Random Numbers in Rerolls and Limits of Track Switching
近似 ②：重複重新抽選中的追加亂數與換軌限制
本モデルでは、レア1の重複が発生した場合に「トラックが必ず切り替わる（A↔B）」という仮定を置いている。 しかし実際の実装では、重複発生時に生成される乱数の個数は常に1とは限らず、
レア1アイテムリスト内に同一IDが複数個含まれる場合には、再抽選が連鎖し 2 個以上の乱数が生成される場合がある。
また、重複リロール時のトラック遷移は、追加乱数の個数を $p$ として
$$\text{pos}_{\mathrm{new}} = H^{p}(\text{pos}_{\mathrm{init}})$$
で処理される（$H$は「A→B」「B→A」のトラック切り替え操作。詳しくはセクション「リロール時のセルの移動先について」も参照）。 したがって、
This model assumes that a "track switch (A↔B) always occurs" when a Rare 1 duplicate occurs.
However, in the actual implementation, the number of random numbers generated upon a duplicate is
not always one. If the Rare 1 item list contains multiple entries
of the same ID, rerolls can chain, resulting in the generation of two or more random numbers.
Furthermore, track transition during a duplicate reroll is processed as $$\text{pos}_{\mathrm{new}}
= H^{p}(\text{pos}_{\mathrm{init}})$$
where $p$ is the number of additional random numbers ($H$ represents the A→B / B→A track switch
operation; for details, see the section "On Cell Destinations During Rerolls"). Consequently,
本模型假設當「稀有 1」發生重複時，「軌道必然切換（A↔B）」。但在實際實作中，發生重複時產生的亂數個數並不一定為 1。若「稀有 1」道具清單中包含多個相同 ID，則會引發連鎖重新抽選，進而產生 2
個以上的亂數。
此外，重複重新抽選時的軌道遷移處理方式為 $$\text{pos}_{\mathrm{new}} = H^{p}(\text{pos}_{\mathrm{init}})$$ 其中
$p$ 為追加亂數的個數（$H$ 為「A→B」或「B→A」的軌道切換操作；詳情請參閱「關於重新抽選時的儲存格移動目標」章節）。因此，
- $p$ が奇数ならばトラックが切り替わる
- If $p$ is odd, the track switches.
- 若 $p$ 為奇數，軌道會切換。
- $p$ が偶数ならトラックが切り替わらない（＝トラック移動は発生しない）
- If $p$ is even, the track does not switch (no track movement occurs).
- 若 $p$ 為偶數，軌道不會切換（亦即不發生換軌）。
という現象が起こる。
會發生上述現象。
このため、現実の動作では「重複したのにトラックが動かず、操作の自由度が下がる」ケースが一定の確率で発生する。 この点について、本項の確率モデルは
“重複時には常にトラックが切り替わる”という仮定を置いて簡略化している。
Because of this, cases where a "duplicate occurs but the track does not move, reducing the degree of
control" happen with a certain probability in actual play. Regarding this, the probability model in
this section is simplified by assuming that "a track
switch always occurs upon a duplicate."
因此在現實運作中，存在一定機率會發生「雖然重複但軌道沒動，導致操作自由度下降」的情況。針對此點，本節的機率模型簡化為假設「發生重複時軌道必然切換」。
この近似はわずかに過大評価となるが、誤差は極めて小さい。 実際に、長さ$n$のレア1のアイテムリストについて、抽選された重複アイテムが$d$個含まれている場合、$p$の分布は $$P(p=k)
\approx \prod_{j=1}^{k-1}\frac{d-(j-1)}{n-(j-1)}\cdot\left(1-\frac{d-(k-1)}{n-(k-1)}\right), \quad
1\leq p \leq d$$ と表せるが、最も重複が多い『エヴァ』のケース（$n=37$, 重複ID数 $d=3$
の場合）でも、追加乱数 $p$の分布は概ね
This approximation slightly overestimates the probability, but the error is extremely small. For a
Rare 1 item list of length $n$ containing $d$ instances of the drawn duplicate item, the
distribution of $p$ can be expressed as: $$P(p=k) \approx
\prod_{j=1}^{k-1}\frac{d-(j-1)}{n-(j-1)}\cdot\left(1-\frac{d-(k-1)}{n-(k-1)}\right),
\quad 1\leq p \leq d$$ Even in the "Evangelion" collab case ($n=37, d=3$), which has the highest
density of duplicates, the distribution of additional random numbers $p$ is roughly:
雖然此近似會略微高估，但誤差極小。實際上，對於長度為 $n$ 且包含 $d$ 個重複抽選道具的「稀有 1」道具清單，$p$ 的分佈可表示為： $$P(p=k) \approx
\prod_{j=1}^{k-1}\frac{d-(j-1)}{n-(j-1)}\cdot\left(1-\frac{d-(k-1)}{n-(k-1)}\right), \quad 1\leq p
\leq d$$ 即使在重複情況最嚴重的「福音戰士」合作活動（$n=37$, 重複 ID 數 $d=3$）中，追加亂數 $p$
的分佈大致為：
$$P(p=1)\approx 0.92$$ $$P(p=2)\approx 0.077$$ $$P(p=3)\approx 0.0044$$
程度である。すなわち「トラックが本当に動かない偶数 $p$」が発生する確率は数%程度に小さく、 操作確率に与える誤差はおおむね $0.1–1\%$ 程度に収まる。
Thus, the probability of an even $p$ (where the track does not actually move) is as small as a few
percent, and the resulting error in controllability is generally within $0.1–1\%$.
換言之，發生「軌道真的沒動的偶數 $p$」之機率極低（僅數個百分點），對操作機率造成的誤差大約落在 $0.1–1\%$ 之間。
後述のトラック操作可能性は、こうしたレアケースを無視した「理論上の最大操作性能」を表しており、 実際の挙動はこれよりわずかに低くなる点に注意されたい。
Please note that the "Track Controllability" described later represents the "theoretical maximum
operational performance" ignoring these rare cases, and actual behavior will be slightly lower.
請注意，後述的「軌道操作可能性」代表的是忽略這些極少數情況下的「理論最大操作性能」，實際表現會比該數值略低。
同時分布 $p_{ij}$ の導入
Introduction of Joint Distribution $p_{ij}$
導入聯合分布 $p_{ij}$
通常、2回のロール $r=1, 2$ は独立であるが、先に述べたように、同一ロール内における $X$ と $Y$ の結果は、 同じ乱数 $(a, b)$ を共有しているため従属関係にある。
この従属性を正しく扱うため、1 ロールにおける $X$ と $Y$ の結果の同時分布を以下のように定義する。
While two rolls $r=1, 2$ are typically independent, as mentioned earlier, the results of $X$ and $Y$
within the same roll are dependent because they share the same random numbers $(a, b)$. To correctly
handle this dependency, the joint distribution of
the outcomes of $X$ and $Y$ in a single roll is defined as follows.
通常兩次抽選 $r=1, 2$ 是相互獨立的，但如前所述，在同一次抽選中 $X$ 與 $Y$ 的結果因共享相同的亂數 $(a, b)$ 而具有相依關係。為了正確處理此相依性，我們將單次抽選中 $X$
與 $Y$ 結果的聯合分佈定義如下。
重複判定の対象となるレア1アイテムの集合を $S$ とし、それ以外を $\bot$ として、 $$p_{ij} := P(X_r = i, Y_r = j), \quad (i,j \in S
\cup \{\bot\})$$
Let $S$ be the set of "Rare 1" items subject to duplicate checking, and $\bot$ represent others. We
define: $$p_{ij} := P(X_r = i, Y_r = j), \quad (i,j \in S \cup \{\bot\})$$
定義 $S$ 為重複判定對象的「稀有 1」道具集合，其餘為 $\bot$： $$p_{ij} := P(X_r = i, Y_r = j), \quad (i,j \in S \cup
\{\bot\})$$
この $p_{ij}$ は、レアリティ判定の閾値による確率や、前述の $U_b$ 区間の重なり $L_{k\ell}$ を用いて構築される。 例えば、両方ともレア1が選ばれる領域において、Xでアイテム
$s$、Yでアイテム $t$ が選ばれる確率は、 それに対応する区間の重なり長さ $L_{k\ell}$ に比例する： $$p_{s,t} \ += \ \min(p_X, p_Y)
\sum_{(k,\ell): X[k]=s, Y[\ell]=t} L_{k\ell}$$ このように構築された
$p_{ij}$ は、乱数共有による従属性、リストのズレ、レアリティ構成の違いといった情報をすべて含んでいる。 以降の計算はすべて、この $p_{ij}$ を用いて機械的に導出できる。
This $p_{ij}$ is constructed using probabilities based on rarity determination thresholds and the
previously mentioned interval overlaps $L_{k\ell}$ of $U_b$. For example, in a region where both
gachas select Rare 1, the probability of selecting item
$s$ in $X$ and item $t$ in $Y$ is proportional to the corresponding interval overlap length
$L_{k\ell}$: $$p_{s,t} \ += \ \min(p_X, p_Y) \sum_{(k,\ell): X[k]=s, Y[\ell]=t} L_{k\ell}$$ The
$p_{ij}$ constructed this way contains all
information regarding dependency due to shared random numbers, list offsets, and differences in
rarity configuration. All subsequent calculations can be derived mechanically using this $p_{ij}$.
此 $p_{ij}$ 是利用稀有度判定閾值所產生的機率，以及前述 $U_b$ 區間重疊 $L_{k\ell}$ 來建構的。例如，在兩者皆選中「稀有 1」的區域內，在 $X$ 選中道具 $s$ 且在
$Y$ 選中道具 $t$ 的機率，會與其對應區間的重疊長度 $L_{k\ell}$ 成正比： $$p_{s,t} \ += \ \min(p_X, p_Y) \sum_{(k,\ell):
X[k]=s, Y[\ell]=t} L_{k\ell}$$ 如此建構出的 $p_{ij}$ 包含了因共享亂數產生的相依性、清單偏移以及稀有度構造差異等所有資訊。後續的所有計算皆可透過此
$p_{ij}$ 機械式地推導出來。
基本的な事象の定義と $p_{ij}$ による表現
Definition of Basic Events and Expression via $p_{ij}$
基本事件定義與 $p_{ij}$ 表示法
ここから、発動確率と回避確率の導出を行うが、その前に簡単に基本的な事象の定義を行う。
2 ロール分の結果 $(X_1, Y_1), (X_2, Y_2)$ に対し、
Now we derive the activation and avoidance probabilities, but first, we briefly define the basic
events. For the outcomes of two rolls $(X_1, Y_1), (X_2, Y_2)$:
接下來我們將推導觸發機率與迴避機率，但在那之前，先簡單定義基本事件。針對兩次抽選的結果 $(X_1, Y_1), (X_2, Y_2)$：
- $X \to X$ で重複が起こる事象… $D_{XX} := \{X_1 = X_2 \in S\}$
- Event where a duplicate occurs in sequence $X \to X$: $D_{XX} := \{X_1 = X_2 \in
S\}$
- 在 $X \to X$ 順序下發生重複的事件：$D_{XX} := \{X_1 = X_2 \in S\}$
- $X \to Y$ で重複が起こる事象… $D_{XY} := \{X_1 = Y_2 \in S\}$
- Event where a duplicate occurs in sequence $X \to Y$: $D_{XY} := \{X_1 = Y_2 \in
S\}$
- 在 $X \to Y$ 順序下發生重複的事件：$D_{XY} := \{X_1 = Y_2 \in S\}$
- $Y \to X$ で重複が起こる事象… $D_{YX} := \{Y_1 = X_2 \in S\}$
- Event where a duplicate occurs in sequence $Y \to X$: $D_{YX} := \{Y_1 = X_2 \in
S\}$
- 在 $Y \to X$ 順序下發生重複的事件：$D_{YX} := \{Y_1 = X_2 \in S\}$
- $Y \to Y$ で重複が起こる事象… $D_{YY} := \{Y_1 = Y_2 \in S\}$
- Event where a duplicate occurs in sequence $Y \to Y$: $D_{YY} := \{Y_1 = Y_2 \in
S\}$
- 在 $Y \to Y$ 順序下發生重複的事件：$D_{YY} := \{Y_1 = Y_2 \in S\}$
と決める。
is defined.
以此類推。
これらの確率は、$p_{ij}$ の周辺化によって直ちに計算できる。 例えば $D_{XX}$ の確率は、ロール間の独立性より $$P(D_{XX}) = \sum_{s \in S}
P(X_1=s)P(X_2=s) = \sum_{s \in S} \bigg(\sum_{j} p_{sj}\bigg)^2$$ となる。同様に、$D_{XY}$ の確率は $$P(D_{XY})
= \sum_{s \in S} P(X_1=s)P(Y_2=s) = \sum_{s \in S} \bigg(\sum_{j}
p_{sj}\bigg)\bigg(\sum_{i} p_{i s}\bigg)$$ で与えられる。
These probabilities can be immediately calculated via marginalization of $p_{ij}$. For instance, due
to independence between rolls, the probability of $D_{XX}$ is $$P(D_{XX}) = \sum_{s \in S}
P(X_1=s)P(X_2=s) = \sum_{s \in S} \bigg(\sum_{j} p_{sj}\bigg)^2$$
Similarly, the probability of $D_{XY}$ is given by $$P(D_{XY}) = \sum_{s \in S} P(X_1=s)P(Y_2=s) =
\sum_{s \in S} \bigg(\sum_{j} p_{sj}\bigg)\bigg(\sum_{i} p_{i s}\bigg)$$
這些機率可以透過 $p_{ij}$ 的邊際化（Marginalization）立即算出。例如根據兩次抽選間的獨立性，$D_{XX}$ 的機率為 $$P(D_{XX}) = \sum_{s \in S}
P(X_1=s)P(X_2=s) = \sum_{s \in S} \bigg(\sum_{j} p_{sj}\bigg)^2$$ 同理，$D_{XY}$ 的機率公式為 $$P(D_{XY}) =
\sum_{s \in S} P(X_1=s)P(Y_2=s) = \sum_{s \in S} \bigg(\sum_{j}
p_{sj}\bigg)\bigg(\sum_{i} p_{i s}\bigg)$$
重要な複合事象
Important Compound Events
重要複合事件
-
XまたはYで重複が起こる事象… $$D := D_{XX} \cup D_{YY}$$ $$ \begin{eqnarray} P(D) &=&
P(X_1=X_2) + P(Y_1=Y_2) - P(X_1=X_2, Y_1=Y_2)\\ &=& \sum_{s\in S} \left(\sum_j
p_{ij}\right)^2 + \sum_{t\in S} \left(\sum_i p_{it}\right)^2 - \sum_{s\in S} (p_{ss})^2
\end{eqnarray} $$ これは「少なくともどちらかのガチャ単体では重複が発生してしまう」状況を表す。
Event where a duplicate occurs in either X or Y: $$D := D_{XX} \cup
D_{YY}$$ $$ \begin{eqnarray} P(D) &=& P(X_1=X_2) + P(Y_1=Y_2) - P(X_1=X_2, Y_1=Y_2)\\ &=&
\sum_{s\in S} \left(\sum_j p_{ij}\right)^2 + \sum_{t\in S} \left(\sum_i p_{it}\right)^2 -
\sum_{s\in S} (p_{ss})^2 \end{eqnarray} $$ This represents the situation where "a duplicate
inevitably occurs within at least one gacha standalone."
在 X 或 Y 發生重複的事件： $$D := D_{XX} \cup D_{YY}$$ $$ \begin{eqnarray} P(D) &=&
P(X_1=X_2) + P(Y_1=Y_2) - P(X_1=X_2, Y_1=Y_2)\\ &=& \sum_{s\in S} \left(\sum_j
p_{ij}\right)^2 + \sum_{t\in S} \left(\sum_i p_{it}\right)^2 - \sum_{s\in S} (p_{ss})^2
\end{eqnarray} $$ 這代表「至少在其中一種單獨轉蛋中會發生重複」的情況。
-
完全重複事象… $$\mathrm{All4} := \{X_1 = X_2 = Y_1 = Y_2 \in S\}$$
$$P(\mathrm{All4}) = \sum_{s \in S} p_{ss}^2$$ これは、どの順序を選んでも必ず同じアイテム $s$
がペアになり、回避が不可能となる状況を表す。
Total Duplicate Event: $$\mathrm{All4} := \{X_1 = X_2 = Y_1 = Y_2 \in S\}$$
$$P(\mathrm{All4}) = \sum_{s \in S} p_{ss}^2$$ This represents the situation where the same
item $s$ becomes a pair regardless of the chosen sequence, making avoidance
impossible.
完全重複事件： $$\mathrm{All4} := \{X_1 = X_2 = Y_1 = Y_2 \in S\}$$
$$P(\mathrm{All4}) = \sum_{s \in S} p_{ss}^2$$ 這代表無論選擇哪種順序，相同的道具 $s$ 都會成對，導致無法迴避的情況。
回避確率 (Avoidance Probability)
Avoidance Probability
迴避機率 (Avoidance Probability)
「どちらかのガチャで重複が発生してしまった場合でも、ロール順を工夫することで重複を回避できる確率」を指す。
Refers to "the probability that even if a duplicate occurs in one of the gachas, it can be avoided
by strategically choosing the roll sequence."
指的是「即使其中一種轉蛋發生了重複，仍能透過調整抽選順序來迴避重複的機率」。
回避確率
Avoidance Probability
迴避機率
事象 $D$ が発生したという条件の下で、回避が不可能となるのは $\mathrm{All4}$ のケースのみである。 したがって、回避確率 $P_{\mathrm{avoid}}$
は簡潔に次式で表される。
Under the condition that event $D$ has occurred, avoidance is impossible only in the $\mathrm{All4}$
case. Therefore, the avoidance probability $P_{\mathrm{avoid}}$ can be simply expressed by the
following equation.
在事件 $D$ 發生的條件下，僅有在 $\mathrm{All4}$ 的情況下無法迴避。因此，迴避機率 $P_{\mathrm{avoid}}$ 可以透過以下公式簡潔地表示。
$$ \boxed{ P_{\mathrm{avoid}} = 1 - \frac{P(\mathrm{All4})}{P(D)} } $$
片側回避確率
One-sided Avoidance Probability
單側迴避機率
「$X$で重複が起こる($D_{XX}$)ときに、$Y$を介して($X\to Y$または$Y\to X$で)回避できる」確率。 条件が $D_{XX}$ に限定されるため、式は以下のようになる。
The probability that "when a duplicate occurs in $X$ ($D_{XX}$), it can be avoided via $Y$ (by $X\to
Y$ or $Y\to X$)." Since the condition is restricted to $D_{XX}$, the formula is as follows.
「當 $X$ 發生重複（$D_{XX}$）時，透過 $Y$（經由 $X\to Y$ 或 $Y\to X$）得以迴避」的機率。由於條件僅限於 $D_{XX}$，公式如下。
$$ P_{\mathrm{avoid}}^{(X)} = 1 - \frac{P(\mathrm{All4})}{P(D_{XX})} $$
$Y$側の片側確率も同様に求められる。
The one-sided probability for $Y$ can be derived in the same manner.
$Y$ 側的單側機率亦可以同樣方式求得。
発動確率 (Activation Probability)
Activation Probability
觸發機率 (Activation Probability)
「現在は重複が発生していないが、ロール順を工夫することで意図的にペア（重複）を作り出せる確率」を指す。
Refers to "the probability that although no duplicate is currently present, a pair (duplicate) can
be intentionally created by strategically choosing the roll sequence."
指的是「目前尚未發生重複，但能透過調整抽選順序來刻意製造出配對（重複）的機率」。
発動確率
Activation Probability
觸發機率
X でも Y でもまだ重複していない状況 $\overline{D} := \overline{D_{XX}} \cap \overline{D_{YY}}$ のもとで、 $D_{XY},
D_{YX}, D_{XX}, D_{YY}$ のいずれかを成立させられる確率である。 これはブール条件を用いた指示関数 $\mathbf{1}[\cdot]$ により、1つの式で記述できる。
The probability that, given the situation $\overline{D} := \overline{D_{XX}} \cap \overline{D_{YY}}$
where no duplicate has occurred in either X or Y, one of $D_{XY}, D_{YX}, D_{XX}, D_{YY}$ can be
established. This can be described in a single equation
using the indicator function $\mathbf{1}[\cdot]$ with Boolean conditions.
在 $X$ 與 $Y$ 皆未發生重複的狀況 $\overline{D} := \overline{D_{XX}} \cap \overline{D_{YY}}$ 下，促使 $D_{XY},
D_{YX}, D_{XX}, D_{YY}$ 其中之一成立的機率。這可以透過結合布林條件的指示函數 $\mathbf{1}[\cdot]$ 以單一公式表示。
$$ \boxed{ P_{\mathrm{act}} = \dfrac{ \displaystyle \sum_{i_1,j_1,i_2,j_2} p_{i_1 j_1} p_{i_2 j_2}\;
\mathbf{1}[\overline{D}]\; \mathbf{1}[D_{XY} \lor D_{YX} \lor D_{XX} \lor D_{YY}] }{ \displaystyle
\sum_{i_1,j_1,i_2,j_2} p_{i_1 j_1} p_{i_2 j_2}\; \mathbf{1}[\overline{D}]
} } $$
片側発動確率
One-sided Activation Probability
單側觸發機率
「X では重複していない ($\overline{D_{XX}}$) とき、Y を利用してペアを作れる」という確率。 この場合、利用可能なペアは $D_{XY}, D_{YX}, D_{YY}$
である。
The probability that "when no duplicate is present in X ($\overline{D_{XX}}$), a pair can be created
using Y." In this case, the available pairs are $D_{XY}, D_{YX}, D_{YY}$.
「當 $X$ 未發生重複（$\overline{D_{XX}}$）時，利用 $Y$ 製造出配對」的機率。在此情況下，可利用的配對為 $D_{XY}, D_{YX}, D_{YY}$。
$$ \begin{eqnarray} P_{\mathrm{act}}^{(X)} &=& \frac{P(\overline{D_{XX}} \cap (D_{XY} \cup D_{YX} \cup
D_{YY}))}{P(\overline{D_{XX}})}\\ &=&
\frac{\sum_{i_1,j_1,i_2,j_2}{p_{i_1j_1}p_{i_2j_2}\mathbf{1}[not(i_1=i_2\in S)]\mathbf{1}[(i_1=j_2\in
S)\lor (j_1=i_2\in
S) \lor (j_1=j_2\in S)]}}{P(\overline{D_{XX}})\mathbf{1}[not(i_1=i_2\in S)]} \end{eqnarray} $$
$Y$側の片側確率も同様に求められる。
The one-sided probability for $Y$ can be derived in the same manner.
$Y$ 側的單側機率亦可以同樣方式求得。
トラック操作可能性 (Track Controllability)
Track Controllability
軌道操作可能性 (Track Controllability)
最後に、これらを統合した指標を定義する。
トラック操作の戦略上プレイヤーにとって最も関心があるのは、「重複させたいときにさせることができ、避けたいときに避けることができるか」という選択の自由度であるため、 これを「トラック操作可能性
$P_{\mathrm{track}}$」と定義する： $$P_{\mathrm{track}} := P(\text{避けたいときに避けられる} \lor \text{作りたいときに作れる})$$
Finally, we define an integrated index. Since the primary interest in track manipulation strategy is
the degree of choice—specifically, "whether one can trigger a duplicate when desired and avoid it
when not"—we define this as "Track Controllability $P_{\mathrm{track}}$":
$$P_{\mathrm{track}} := P(\text{Avoidable when desired} \lor \text{Triggerable when desired})$$
最後，我們定義一個整合後的指標。在軌道操作戰略中，玩家最關心的是「想重複時能重複、想避開時能避開」的選擇自由度，因此我們將其定義為「軌道操作可能性 $P_{\mathrm{track}}$」：
$$P_{\mathrm{track}} := P(\text{想避開時能避開} \lor \text{想製造時能製造})$$
これは全確率の法則を用いて、 「重複発生時($D$)の回避成功」と「非発生時($\overline{D}$)の発動成功」の和として計算できる。
This can be calculated using the Law of Total Probability as the sum of "successful avoidance when a
duplicate occurs ($D$)" and "successful activation when it does not occur ($\overline{D}$)."
這可以利用全機率定理，計算為「發生重複時 ($D$) 迴避成功」與「未發生重複時 ($\overline{D}$) 觸發成功」之總和。
$$ P_{\mathrm{track}} = P(D)P_{\mathrm{avoid}} + P(\overline{D})P_{\mathrm{act}} $$
これに前述の式を代入し整理すると、非常にシンプルな最終形が得られる。
Substituting the previous equations and simplifying yields a very elegant final form.
將前述公式代入並整理後，可得到非常簡潔的最終形式。
$$ P_{\mathrm{track}} = P(D)\left(1 - \frac{P(\mathrm{All4})}{P(D)}\right) + (1-P(D))P_{\mathrm{act}} $$
すなわち、
That is,
也就是說，
$$ \boxed{ P_{\mathrm{track}} = P(D) - P(\mathrm{All4}) + (1-P(D))P_{\mathrm{act}} } $$
この $P_{\mathrm{track}}$ が高いほど、そのガチャの組合せはプレイヤーの戦略的意図（トラック維持・移動）に応えやすい相性を持っているといえる。
The higher this $P_{\mathrm{track}}$ value, the more compatible the gacha combination is with the
player's strategic intent (maintaining or switching tracks).
此 $P_{\mathrm{track}}$ 數值越高，代表該轉蛋組合越能滿足玩家的戰略意圖（維持軌道或切換軌道）。
本モデルの限界と完全モデルを採用しない理由
Limitations of This Model and Why the Complete Model is Not Adopted
本模型的侷限性與不採用完全模型的原因
以上で導出した回避確率・発動確率・トラック操作可能性は、 「重複時には必ずトラックが切り替わる」 という仮定に基づいている。 しかし前述の通り、実際の実装では追加乱数 $p$ の偶奇によって
トラックが切り替わらないケースが存在する。 このため、ここで定義した操作可能性 $P_{\mathrm{track}}$ は 現実よりわずかに高い値となる（＝過大評価）という限界がある。
The avoidance probability, activation probability, and track controllability derived above are based
on the assumption that "the track always switches upon a duplicate." However, as noted earlier,
actual implementation includes cases where the track does
not switch depending on whether the number of additional random numbers $p$ is even or odd. Thus,
the controllability $P_{\mathrm{track}}$ defined here has the limitation of being slightly higher
than reality (overestimation).
以上推導出的迴避機率、觸發機率與軌道操作可能性，皆基於「發生重複時軌道必然切換」的假設。但如前所述，實際實作中存在追加亂數 $p$ 為偶數而導致軌道未切換的情況。因此，這裡定義的操作可能性
$P_{\mathrm{track}}$ 存在侷限性，其數值會比實際情況略高（即過度評估）。
より厳密なモデルを構築するには、各レア1アイテムに対して 「重複数 $d$ に応じた $p=1,2,\dots,d$ の発生確率分布」を求め、 2 ロール分の組合せ
$(X_1,Y_1),(X_2,Y_2)$ の全てについて
To construct a more rigorous model, one would need to determine the "probability distribution of
$p=1,2,\dots,d$ based on the duplicate count $d$" for each Rare 1 item, and for all combinations of
two rolls $(X_1,Y_1),(X_2,Y_2)$, convolve:
若要建構更嚴密的模型，必須針對各個「稀有 1」道具求出「對應重複數 $d$ 的 $p=1,2,\dots,d$ 發生機率分佈」，並針對兩次抽選的所有組合 $(X_1,Y_1),(X_2,Y_2)$
進行捲積：
- 各重複イベントに対する $p$ の確率分布
- The probability distribution of $p$ for each duplicate event.
- 各重複事件對應的 $p$ 機率分佈。
- $p$ の偶奇によるトラック遷移の確率
- The probability of track transition based on the parity (even/odd) of $p$.
- 基於 $p$ 奇偶性的軌道遷移機率。
- 4 種類の並べ替え（$XX,XY,YX,YY$）それぞれの成立確率
- The success probability of each of the four permutations ($XX, XY, YX, YY$).
- 四種排列順序（$XX, XY, YX, YY$）各自的成立機率。
をすべて畳み込む必要がある。この計算は非常に複雑であり、 レア1リストの長さ $n,m$ が 50–100 のとき、 全ての $(i,j)$ のペアに対して $p$
分布を展開するだけでも数百万〜数千万の項が必要になる。
This computation is extremely complex. With Rare 1 list lengths $n, m$ between 50 and 100, expanding
the $p$ distribution for every $(i, j)$ pair alone would require millions or tens of millions of
terms.
將上述各項全部整合。此計算極其複雜，當「稀有 1」清單長度 $n, m$ 為 50–100 時，單是展開所有 $(i, j)$ 配對的 $p$ 分佈就需要數百萬到數千萬個項。
さらに、$p$ の確率分布は単純ではなく、 「失敗したときにリストの長さが1ずつ減り、成功確率が漸増する」 という非一様・非マルコフ構造を持っているため、 正確な解析解を得ることは困難である。
Furthermore, the probability distribution of $p$ is not simple; it possesses a non-uniform,
non-Markovian structure where "the list length decreases by one upon failure, causing the success
probability to increase incrementally," making it difficult to
obtain an exact analytical solution.
此外，$p$ 的機率分佈並不單純，它具有「失敗時清單長度減少 1 且成功機率遞增」的非均勻、非馬可夫結構（Non-Markovian structure），因此難以取得精確的解析解。
このように、完全モデルは計算量が爆発し、ブラウザ上で実用的に計算することは難しい。 そのため、本モデルでは “重複時はトラック移動が起こる” とする合理的な近似を採用し、 誤差は「最大でも数 %
程度」に収まることを示したうえで、 トラック操作可能性の評価指標として利用している。
As such, the complete model suffers from a computational explosion, making it impractical for
browser-based calculations. Therefore, this model adopts a reasonable approximation that "a track
switch occurs upon a duplicate." Having demonstrated that the
error remains within "a few percent at most," we utilize it as an evaluation metric for track
controllability.
綜上所述，完全模型的計算量會發生爆炸性增長，難以在瀏覽器上進行實用計算。因此，本模型採用了「發生重複時必然換軌」的合理近似，並在證明誤差「最高僅約數個百分點」後，將其作為軌道操作可能性之評估指標。
